Нахождение площади тел вращения. Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений. Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах
Пример: Найти объем шара радиуса R .
В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q (x ) = .
Получаем объем шара:
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S .
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x / H , где х - расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда получаем функцию площадей сечений:
Находим объем пирамиды:
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x ). Предположим, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемоетело вращения .
y = f (x )
Площадь поверхности тела вращения.
М i B
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна D P i . Эта площадь может быть найдена по формуле :
Поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам.
Посмотрим на лаконичную картинку
И вспомним: что можно вычислить с помощью определённого интеграла ?
В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции . Знакомо со школьных времён.
Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения . Тоже просто.
Что ещё? Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой .
И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику – ещё одну площадь. Представьте, что линия вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения . В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки. Как бы сказал ослик Иа-Иа, душераздирающее зрелище =)
Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаю занудное, но важное уточнение:
с геометрической точки зрения наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности .
В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:
или, если компактнее: .
К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой , но, кроме того, кривая должна располагаться выше оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под осью , то подынтегральная функция будет отрицательной : , и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.
Рассмотрим незаслуженно обойденную вниманием фигуру:
Площадь поверхности тора
В двух словах, тор – это бублик . Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности . Сначала с конкретными числовыми значениями:
Пример 1
Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси .
Решение
: как вы знаете, уравнение задаёт окружность
единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:
– задаёт верхнюю полуокружность;
– задаёт нижнюю полуокружность:
Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг , ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело , то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности , которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:
1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:
Берём функцию и находим её производную
:
И, наконец, заряжаем результат в формулу:
Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.
2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:
3) Таким образом, площадь поверхности тора:
Ответ :
Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ . Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.
Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки:
Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на данном промежутке), таким образом:
Ответ :
Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.
Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)
Пример 4
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .
Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.
График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.
Решение и ответ в конце урока.
Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.
Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?
Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где – угловые значения, соответствующие концам кривой.
В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.
Пример 5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).
Поверхность вращения будет напоминать яблочко.
Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:
Составим и упростим корень:
Надеюсь, с заштатными
Пусть
в пространстве задано тело. Пусть
построены его сечения плоскостями,
перпендикулярными осии проходящими через точкиx
на ней. Площадь фигуры, образующейся в
сечении, зависит от точки х
,
определяющей плоскость сечения. Пусть
эта зависимость известна и задана
непрерывной на
функцией.
Тогда объем части тела, находящейся
между плоскостямих=а
и х=в
вычисляется по формуле
Пример. Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса :, горизонтальной плоскостьюи наклонной плоскостьюz=2y и лежащего выше горизонтальной плоскости .
Очевидно, что
рассматриваемое тело
проектируется
на осьв
отрезок
,
а приx
поперечное сечение тела представляет
собою прямоугольный треугольник с
катетамиy
и z=2y,
где y
можно выразить через x
из уравнения цилиндра:
Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова:
Применяя формулу, находим объём тела :
Вычисление объемов тел вращения
Пусть на отрезке[a , b ] задана непрерывная знакопостоянная функция y = f (x ). Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу ) криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) (f (x ) 0) и прямыми у=0, х=а, х= b , вычисляются соответственно по формулам:
, ( 19)
(20)
Если
тело образуется при вращении вокруг
оси Оу
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
и прямымиx
=0,
y
=
c
,
y
=
d
,
то объем тела вращения равен
. (21)
Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг осиОх .
По формуле (19) искомый объем
Пример. Пусть в плоскости xOy рассматривается линия y=cosx на отрезке .
Эта линия вращается в пространстве вокруг оси, и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объёмэтого тела вращения.
Согласно формуле, получаем:
Площадь поверхности вращения
,
,
вращается вокруг осиOx,
то площадь поверхности вращения
вычисляется по формуле
,
гдеa
и b
- абсциссы начала и конца дуги.
Если дуга кривой,
заданная неотрицательной функцией
,
,
вращается вокруг осиOy,
то площадь поверхности вращения
вычисляется по формуле
,
где с и d - абсциссы начала и конца дуги.
Если дуга кривой
задана параметрическими
уравнениями
,
,
причем
,
то
Если дуга задана
в полярных
координатах
,
то
.
Пример. Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линииy=, расположенной над отрезкомоси.
Так как
,
то формула даёт нам интеграл
Сделаем в последнем интеграле замену t=x+(1/2) и получим:
В первом из интегралов правой части сделаем замену z=t 2 -:
Для вычисления второго из интегралов в правой части обозначим его и проинтегрируем по частям, получив уравнение для:
Перенося в левую часть и деля на 2, получаем
откуда, наконец,
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси OX под действием переменной силы f , зависящей от положения точки x на оси, т.e. силы, являющейся функцией x . Тогда работа A , необходимая для перемещения материальной точки из позиции x = a в позицию x = b вычисляется по формуле:
Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S , умноженной на глубину погружения h , на плотность ρ и ускорение силы тяжести g , т.е.
.
1.
Моменты
и центры масс плоских кривых
.
Если дуга кривой задана уравнением
y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность
,
тостатические
моменты
этой дуги M x
и M y
относительно координатных осей Ox и Oy
равны
;
моменты инерции I Х и I у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс и- по формулам
где l- масса дуги, т. е.
Пример 1 . Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
Если
плотность не указана, предполагается,
что кривая однородна и
.
Имеем:Следовательно,
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти. Имеем:
Отсюда получаем:
В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена . Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример
3.
Найти координаты центра масс полуокружности
Вследствие
симметрии
.
При вращении полуокружности вокруг оси
Ох получается сфера, площадь поверхности
которой равна,
а длина полуокружности равна па. По
теореме Гульдена имеем 4
Отсюда
,
т.е. центр масс C имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Так как путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени , выражается интегралом
то имеем:
П
ример.
Найдём площадь
ограниченной
области, лежащей между осьюи
линиейy=x 3 -x.
Поскольку
линия пересекает ось в трёх точка:x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.
Ограниченная
область между линией и осью
проектируется
на отрезок
,причём на отрезке
,линияy=x 3 -x
идёт выше оси
(то
есть линииy=0,
а на
- ниже. Поэтому площадь области можно
подсчитать так:
П
ример.
Найдём площадь
области,
заключённой между первым и вторым витком
спирали Архимедаr=a
(a>0)
и отрезком горизонтальной оси
.
Первый виток
спирали соответствует изменению угла
в
пределах от 0 до,
а второй - отдо.
Чтобы привести изменение аргументак одному промежутку, запишем уравнение
второго витка спирали в виде
,
.
Тогда площадь
можно
будет найти по формуле, положив
и
:
Пример.
Найдём объём
тела,
ограниченного поверхностью вращения
линииy=4x-x 2
вокруг оси
(при
).
Для вычисления объёма тела вращения применим формулу
Пример.
Вычислим длину
дуги
линииy=lncosx,
расположенной между прямыми
и
.
(мы взяли в качестве
значения корня
,
а не -cosx,
поскольку cosx
>0 при
,
длина дуги равна
Ответ:
.
Пример.
Вычислим площадь Q
поверхности вращения, полученной при
вращении дуги циклоиды x=t-sint
; y=1-cost,
при
,
вокруг оси.
Для вычисления применим формулу:
Имеем:
, так что
Для перехода под
знаком интеграла к переменной
заметим,
что при
получаем
,
а также
Кроме того, предварительно вычислим
(так что
)
и
Получаем:
Делая замену , приходим к интегралу
- Что изучает социальная психология
- Океан – наше будущее Роль Мирового океана в жизни Земли
- Ковер из Байё — какие фильмы смотрели в Средние века
- Библиотека: читающий малыш
- Всадник без головы: главные герои, краткая характеристика
- 3 стили речи. Стили текста. Жанры текста в русском языке. §2. Языковые признаки научного стиля речи
- Самые разрушительные цунами в истории