Функционально графический метод решения уравнений примеры. Исследование различных методов решения неравенств. Самостоятельная работа(для сильной части класса)

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ (использование свойств монотонности функций при решении уравнений.)

На доске записан эпиграф

Что есть лучшего?

Сравнив прошедшее, свести его

с настоящим.

Козьма Прутков

1 этап: актуализация прошлого опыта.

На предыдущих занятиях элективного курса мы систематизировали наши знания о решении уравнений и пришли к выводу, что уравнения любых видов можно решать общими методами. Какие общие методы решения уравнений мы выделили?

(Замена уравнения h (f (x ))= h (g (x ) уравнением f (x )= g (x ),

разложение на множители, введение новой переменной.)

2 этап: мотивация введения новых уравнений, решение которых связано с применением функционально-графического метода.

На этом занятии мы познакомимся еще с одним методом решения уравнений. Чтобы осознать его необходимость, выполним следующую работу.

Задание. Перед вами ряд уравнений. Сгруппируйте уравнения по методам решения. В таблицу запишите только номера уравнений. Можно поработать самостоятельно, затем сравнить ответы в парах или группах.

Проверка выполнения .

Учащиеся зачитывают ответы.

Среди уравнений вам встретились уравнения, которые вы не можете решить изученными методами. Многие из них решаются графическим методом. Его идея вам знакома. Напомните ее.

(1). Преобразовать уравнение к виду f (x )= g (x ) так, чтобы в левой и правой части уравнения были известные нам функции. 2). В одной системе координат построить графики функций f (x ) и g (x ). 3). Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут приближенные корни уравнения.)

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какое-либо свойство функций (поэтому и говорим не о графическом, а функционально-графическом методе решения уравнений).

Одно из свойств- это свойство монотонности функций. Это свойство применяется при решении уравнений вида

Актуализация опорных знаний учащихся о свойствах монотонности функций

Обращение к эпиграфу урока.

Задание. Вспомним, какие из изученных функций являются монотонными на области определения функции и назовем характер монотонности.

Степенная, у=х r , где

r -дробное

r > 0 , возрастающая

r <0 , убывающая

Корень n -степени из x

Возрастающая

Y=arcsin x

Возрастающая

Y=arccos x

Убывающая

Y=arctg x

Возрастающая

Y=arcctg x

Убывающая

Y = x 2 n +1 , n -натуральное число

Возрастающая

Остальные функции будут монотонными на промежутках области определения функции.

Кроме сведений о монотонности элементарных функций мы используем ряд утверждений для доказательства монотонности функций. (Аналогичные свойства будут формулироваться для убывающих функций.)

Самостоятельная работа с материалом, представленном в печатном виде.

Если функция f возрастает на множестве X , то для любого числа c функция f + c тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X и c >0, функция cf тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X , то функция – f убывает на этом множестве.

Если функция f возрастает на множестве X и сохраняет знак на множестве X , то функция 1/ f убывает на этом множестве.

Если функции f и g возрастают на множестве X , то их сумма f + g

Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве X , то их произведение f · g тоже возрастает на этом множестве.

Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве X и n -натуральное число, то функция f n тоже возрастает на X

Если функция f возрастает X , а функция g возрастает на множестве E (f ) функции f , то композиция g ° f этих функций тоже возрастает на X .

Основные свойства композиции функции .

Пусть сложная функция y = f (g (x )), где x € X такова, что функция u = g (x ),

x € X непрерывна и строго возрастает (убывает) на промежутке Х; функция y = f (u ), u € U , U = g (x ) непрерывна и также является монотонной (строго возрастающей или убывающей) на промежутке U . Тогда сложная функция y = f (g (x )), x € X также будет непрерывной и монотонной на X , причем:

Композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g функций f и g , одна из которых (любая) является строго возрастающей, а другая строго убывающей, будет строго убывающей функцией.

Задание.

Определите, какие функции являются монотонными, установите характер монотонности. Поставьте знак плюс около соответствующего номера. Объясните ответ.(по цепочке)

y = √ x +2,

y =8-3 x ,

y = log 2 2 x ,

y =2 √ 5- x ,

y = cos 2 x ,

y = arcsin (x -9),

y =4 x +9 x ,

y =3 √ -2 x +4 ,

y=ln(2 x +5 x ),

10) y = log 0,2 (-4 x -5),

11) y = log 2 (2 - x +5 -2 x ),

12) y = √ 6-4 x - x 2

Воспользуемся свойствами монотонности функций при решении уравнений. Найдите уравнения из того же списка, которые можно решить, воспользовавшись свойствами монотонности функций.

Подведение итогов занятия.

С каким методом решения уравнений познакомились на занятии?

Все ли уравнения можно решать этим методом?

Как «узнать» метод в конкретных уравнениях?

Список уравнений, которые можно предложить на этом занятии.

Часть 1.

Часть 2.

Разделы: Математика

Класс: 11

• Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения учащихся, связанные с применением функционально-графического метода решения уравнений
• Отработка навыков решения уравнений функционально-графическим методом.
• Формирование логического мышления, умения самостоятельно и нестандартно мыслить.
• Развивать коммуникативные навыки в процессе групповой работы.
• Осуществлять продуктивное взаимодействие в группе для достижения максимального общего результата.
• Отработка умений слушать товарища. Анализировать его ответ и задавать воросы.

Для проведения этого урока в классе организовались группы ребят, которые получила вспомнить определённый метод решения уравнений, подобрать 5-8 уравнений, решить их и подготовить презентацию.

Оборудование: Компьютер, проектор. Презентация .

В презентацию учителя были вставлены презентации ребят, но у них разный фон.

Ход урока

Сегодня на уроке мы вспомним функционально - графический метод решения уравнений, рассмотрим когда он применяется, какие трудности могут возникнуть при решении и будем выбирать методы решения уравнений.

Вспомним основные методы решения уравнений .(слайд № 2)

Первая группа разбирает графический метод.

Вторая группа рассказывает о методе мажорант.

Метод мажорант - метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование - нахождение точек ограничения функции. М - мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

.№1 Решите уравнение:

,

х = 4 - решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

Третья группа объясняет использование теоремы об единственности корня.

Если одна из функций(F(x)) убывает, а другая (G(x))возрастает на некоторой области определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

№1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них - убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая - возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х=3.

Учитель напоминает. где ещё используется монотонность функции при решении уравнений.

А) - От уравнения вида h(f(x))=h(g(x)) переходим к уравнению вида f(x)=g(x)

При монотонности функции

№5 sin (4x+?/6) = sin 3x

НЕВЕРНО!(функция периодическая). И тут же проговариваем правильный ответ.

НЕВЕРНО!(четная степень) И тут же проговариваем правильный ответ:

Б) Метод использования функциональных уравнений.

Теорема. Если функция y = f(x) - возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения f(g(x)) = f(h(x)), то уравнения f(g(x)) = f(h(x)) и g(x)=f(x) равносильны.

№1 Решить уравнение:

Рассмотрим функциональное уравнение f(2x+1) = f(-x), где f(x) = f()

Найдите производную

Определите её знак.

Т.к. производная всегда положительная, то функция возрастающая на всей числовой прямой, то мы переходим к уравнению

Решите уравнение. Х 6 - |13 + 12х| 3 = 27соs х 2 - 27соs(13 + 12x).

1) уравнение приводится к виду

х6 - 27соs x2 = |13 + 12x|3 - 27соs(13 + 12x),

f(x2) = f(13 + 12x),

где f(t) = |t|3-27соst;

2)Функция f - четная и при t > 0 имеет следующую производную

f"(t)= поэтому f"(t)> 0 при всех

Следовательно, функция f возрастает на положительной полуоси, а значит, каждое свое значение она принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках Данное уравнение равносильно

следующей совокупности:

Ответ: -1, 13, -6+?/23.

Задания для решения на уроке. Ответ

Рефлексия.

1. Что нового узнали?

2. С каким методом лучше справляетесь?

Дом задание: Подобрать по 2 уравнения на каждый метод и их решить.

В стандартном курсе школьной математике свойства функций применяются в основном для построения их графиков. Функциональный метод решения уравнений применяют тогда и только тогда, когда уравнение F(x) = G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.

В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

В работе рассмотрены следующие свойства функции: область определения функции; область значений функции; свойства монотонности функции; свойства выпуклости функции; свойства четности и нечетности функции.

Цель работы: провести некоторую классификацию нестандартных уравнений по использованию общих свойств функций, описать суть каждого свойства, дать рекомендации по его использованию, указания к применению.

Вся работа сопровождается решением конкретных задач, предлагавшихся на ЕГЭ различных лет.

Глава 1. Использование понятия области определения функции.

Введем несколько ключевых определений.

Областью определения функции y = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1∩ D2. Ясно, что когда множество D пустое (D= ∅), то уравнение решений не имеет. (Приложение № 1).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ОДЗ:-1 =0⇔-3

Ответ: решений нет.

2. (х2-4х+3 +1)log5х5 + 1х(8х-2х2-6 + 1) = 0.

ОДЗ: х2-4х+3>=0,х>0,8х-2х2-6>=0⇔х∈(-infinity;1∪ 3;infinity),х>01

Проверка: х = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,

0 = 0 - верно.

х = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - неверно.

Часто оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ОДЗ: x-9>=0, x>=9.

При x>=9 x+2>0, 7-x 0, таким образом, произведение трех сомножителей, стоящих в левой части уравнения отрицательно, а правая часть уравнения положительна, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ОДЗ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

На множестве допустимых значений левая часть уравнения - положительна, а правая - отрицательна, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Глава 2. Использование понятия области значений функции.

Областью значений функции y = f(x) называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной x.

Функция y = f(x) называют ограниченной снизу (соответственно сверху) на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство fx>=М (соответственно fx

Функция y = f(x) называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число М >0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство f(x)

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где g(x) - элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим область изменения этих функций соответственно E1 и E2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) значение функции f(x) при х = х1, а g(x1) - значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1∩Е2 !=∅). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Для оценки выражений используются базовые неравенства. (Приложение №2).

Пусть дано уравнение f(x) = g(x). Если f(x)>=0 и g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

Решение. В левой части есть единица, значит, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Сумма первых трех членов представляет собой полный квадрат:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

Следовательно, в левой части сумма квадратов, она равна нулю тогда, когда одновременно равны нулю выражения, стоящие в квадратах. Запишем систему: cosxy=0,x+sinxy=0.

Если cosxy=0, то sinxy= +-1, поэтому эта система равносильна совокупности двух систем: x+1=0,cosxy=0 или x-1=0,cosxy=0.

Их решениями являются пары чисел х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Ответ: х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений fx=А,gx=А.

1. Найдите все значения a, при которых имеет решение уравнение

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

После замены t= 22x-x2 приходим к уравнению cos(2t+PI3)=a-12.

Функция t=2mвозрастает, значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении m. Но m=2х - х имеет наибольшее значение, равное 1. Тогда tнаиб = 22·1-1=2. Таким образом, множеством значений функции t= 22x-x2является промежуток (0;2, а функции cos(2t+PI3)- промежуток -1;0,5). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и только тех значений a, которые удовлетворяют неравенствам -1Ответ: -12. Решить уравнение (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.

Воспользовавшись очевидными неравенствами

Ответ: x= - 5+32, если a=1+32 и x=-5+32, если a= 1-32.

Можно подробнее рассмотреть и другие уравнения. (Приложение №3).

Глава 3. Использование свойства монотонности функции.

Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве Х, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Иными словами, функция y = f(x) возрастает на множестве Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1Она убывает на этом множестве, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 f(x2).

Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1=f(x2)).

Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.

Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:

1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.

2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.

3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция - f убывает на этом множестве.

4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.

5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n - натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.

8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) - возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) - убывающая функция.

Сформулируем теоремы об уравнениях.

Теорема 1.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 2.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).

Теорема 3.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 4.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.

1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.

Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:

1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;

2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;

3. Правый луч касается, а левый - пересекает параболу, что имеет место при a=32.

Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен

2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.

Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.

Ответ: 0,5; 1;1,5.

Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).

Глава 4. Использование свойств выпуклости.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).

Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.

Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.

Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х, функции u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) такие, что при всех х из ОДЗ уравнения f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) их значения u(x), v(x), u1(x), v1(x) содержатся в Х и выполнено условие u+v = u1 +v1, то уравнение f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Решение. Если положим fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, то данное уравнение запишется в виде (1). Поскольку f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, то функция fx является строго выпуклой вверх на сегменте -1;1. Очевидно, что выполнены остальные условия теоремы 2 и, следовательно, уравнение равносильно уравнению cos2x = 0,5, х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Ответ: х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Теорема 3.

Пусть функция fx является строго выпуклой на промежутке Х и u,v, λv+(1-λ)u∈X. Тогда равенство f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) справедливо в том и только и том случае, если либо u=v, либо λ=0, либо λ=1.

Примеры: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Уравнение имеет вид (4), если fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Очевидно, что функция fx является строго выпуклой вниз на R. Следовательно, по теореме 3 исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.

Отсюда получаем, что его решениями будут PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Ответ: PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Использование свойств выпуклости применяется при решении и более сложных уравнений. (Приложение № 6).

Глава 5. Использование свойств четности или нечетности функций.

Функция fx называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение - х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x= fx. Функция fx называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение - х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=- fx.

Из определения следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная - равные по абсолютной величине, но противоположного знака.

Теорема 1.

Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

Теорема 2.

Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение F(x)=0, где F(x) - четная или нечетная функция.

Чтобы решить уравнение F(x) = 0, где F(x) - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение х = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x>=0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.

а) На промежутке (0;2 имеем:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) На промежутке 2;infinity имеем:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.

Ответ: 43; - 43.

Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ . Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ . Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу x o , ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(x о) = g(x o). Из этого равенства следует, что x 0 - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x 3 - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x 1 = -2 ; x 2 = x 3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 имеет корень x 1 = x 2 = x 3 = 1).

Аналитический метод отделения корней . Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей , если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей , если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной , если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак на интервале . Тогда если во всех точках интервала первая производная положительна, т.е. f "(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает . Если же во всех точках интервала первая производная отрицательна, т.е. f "(x)<0, то функция в этом интервале убывает .

Пусть на отрезке функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ""(x)>0, то график функции является выпуклым вниз ; если же f ""(x)<0, то график функции является выпуклым вверх .

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими .

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f "(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример . Отделить корни уравнения 2 х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2 x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f "(x) = 2 x ln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2 x ln(2) - 5 = 0 ; 2 x ln(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).