Решение уравнений с параметрами. Решение систем уравнений с параметром Решение уравнений с параметрами онлайн

2.4.4. Системы уравнений с параметрами

I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

Русь. История России. Современная Россия / Войны 1812 года / Решение уравнений с параметрами. Решение систем уравнений с параметром Решение уравнений с параметрами онлайн

29.01.2024

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Цель:

повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
дать определение системы линейных уравнений с параметрами
научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

Организационный момент
Повторение
Объяснение новой темы
Закрепление
Итог урока
Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

Если а=0, b=0, то х R

Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант:

у=-х+2
y= -x-3,

k 1 = k 2 , b 1 b 2, нет решений;

II вариант:

y=-х+8
y=2x-1,

k 1 k 2 , одно решение;

III вариант:

y=-x-1
y=-x-1,

k 1 = k 2 , b 1 = b 2, много решений.

Вывод:

Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

Определение: Система вида

A 1 x+B 1 y=C
A 2 x+B 2 y=C 2

где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C 1 C 2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

2х - 3у = 7
ах - 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

у - любое
x=n-2y

в) если m1 и n - любое, то

Пример 3.

ах-3ау=2а+3
х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

а(1-ау)-3ау=2а+3

а-а 2 у-3ау=2а+3

А 2 у-3ау=а+3

А(а+3)у=а+3

Возможны случаи:

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

2) а=-3. Тогда 0*у=0.

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

Ответ:

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а 0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на – В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на – А 1 , и оба уравнения сложим почленно:

А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
-А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
у(А 2 В 1 -А 1 В 2)=А 2 С 1 -А 1 С 2

т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

- главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

Если , или , , то система (1) не имеет решений

Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

(а+5)х+(2а+3)у=3а+2
(3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c.

В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами .

Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Пример: –5х +10=– 1;

x +4y= 0;

–102–1000y= ; и т. д.

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

Если а ¹0, то https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

при а=0 и b ¹ c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х .

Пример 1. : 2а (а –2)х=а– 2

1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

2а (а –2)=0

решим это уравнение относительно переменной а .

2а= 0 или а –2= 0, откуда а= 0, а= 2.

2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а= 0 имеем 0×х=– 2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х , то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а= 2 имеем 0×х= 0, это справедливо при любом значении х , значит, корнем уравнения является любое действительное число х .

3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а ¹ 0 и а ¹ 2, тогда 2а (а –2)¹ 0 и обе части уравнения можно поделить на 2а (а –2), получим:

Так как а ¹ 2, то дробь можно сократить на (а –2), тогда имеем .

Ответ: при а= 0, корней нет;

при а= 2, корень – любое действительное число;

при а ¹ 0, а ¹ 2, .

Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х , при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х , при значениях, отличных от «контрольных».

4. Записать ответ в виде:

Ответ: 1) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

2) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

3) при значениях параметра... , уравнение корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение с параметром

(а 2–2а +1)х=а 2+2а– 3

1. Найдем контрольные значения параметра

а 2–2а +1=0 Û (а –1)2=0 Û а =1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х= (1+2×1–3) Û 0×х= 0 Þ х – любое действительное число.

3. Решим уравнение при а ¹ 1

а 2–2а +1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

так как а ¹ 1, дробь можно сократить

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Пример 3. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Ответ: 1) при а= 2, корней нет;

2) при а ¹ 0, а ¹ 2, ;

3) при а= 0 уравнение не имеет смысла.

Пример 4. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

так как х ¹ 0 и а ¹ – 2, уравнение равносильно уравнению

(а +3)х= 2а –1

найдем контрольные значения параметра

а +3= 0 Þ а=– 3.

2. Решим уравнение при а=– 3.

0×х=– 7

при любом х равенство места не имеет

3. Решим уравнение при а ¹ – 3, а+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

поэтому, чтобы уравнение имело смысл https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, корней нет;

2) при а ¹ – 2, а ¹ – 3, , .

В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение с параметром

(а –1)х 2+2(2а +1)х +(4а +3)= 0

1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

а– 1=0 Û а= 1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х 2+2(2×1+1)х +4×1+3=0 Û 6х +7=0 Û .

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

D =(2(2а +1))2–4(а –1)(4а +3)=(4а +1)2–(4а –4)(4а +3)=4(5а +4)

4(5а +4)=0 Û .

4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9х 2+6х +1=0 Û (3х +1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. В этом случае D <0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Решим уравнение при а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Ответ: 1) при https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) при а= 1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а ¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х– 2а и 2–ах , которые тоже должны быть отличны от нуля

а2х– 2а ¹0 Û а (ах –2)¹0 Û а ¹0, ах –2¹0 Û а ¹0, ;

2–ах ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Решим уравнение при а ¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–а )х 2+2х +1+а =0 ...................(*)

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2

1–а =0 Û а =1

4. Решим уравнение (*) при а =1

0×х 2+2х +2=0 Û 2х=– 2 Û х= –1

сразу проверим, не совпадает ли х с https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, значит, при а =1, х=– 1.

Замечание . В приведенном примере вычисление всех определителей заканчивалось представлением в виде произведения сомножителей, один из которых (13) сократился при делении. Такая ситуация является весьма общей. Поэтому не надо торопиться перемножать сомножители, хотя чаще всего они не сокращаются.

Задача 4.4. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:

Решение приведенных задач показывает, что формулы Крамера представляют собой единый и удобный метод отыскания решений систем линейных уравнений.

Указание . Использование формул Крамера значительно упрощается, если надо найти только одно из неизвестных: в этом случае надо сосчитать только два определителя.

1 + 4x 2 + x 3 = 21

1 + x 2 − x 3 = 2

2x 1 + x 2 + x 3 = 7

3x 2 − 3x3 = 1

1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27

3) x1 + 4x2 − 5x3

3x 2 + 2x3 = 19

− 2x2 + 3x3 = 7

4x1 + 10x2 − x3

Выше всюду рассматривались системы линейных алгебраических уравнений с фиксированными коэффициентами при неизвестных и правыми частями уравнений. В практических задачах очень часто эти коэффициенты и значения правых частей известны неточно. Поэтому приходится анализировать влияние таких параметров на решение систем.

Пример 4.5. Исследовать зависимость решения системы уравнений

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

от параметров a и b .

Здесь от параметров зависят только правые части уравнений. Поскольку

							27 − 40 = − 13 ≠ 0

для отыскания решения можно воспользоваться формулами Крамера. Имеем:

∆1				9a − 8b,∆ 2				3b − 5a

x = x

= ∆ 1

9a − 8b

8b − 9a

Y = x

∆ 2 =

5a − 3b

− 13

Подстановкой убеждаемся, что полученное решение верно:

8b − 9a

5a − 3b

a(− 27 + 40)

B(24 − 24)

8b − 9a

5a − 3b

a(− 45 + 45)

− 27)

В частности, если a = 11, b = 14 получаем: x =

8× 14 − 9× 11

1 и y = 1.

y (a , b )

x (a , b )

Таким образом, каждой паре параметров a и b соответствует единственная пара чисел x и y , удовлетворяющая заданной системе уравнений. Это значит, что решением системы уравнений является упорядоченная пара и двух функций от двух переменных (параметров a и b ). Обе функции определены для любых значений этих параметров и линейно зависят от независимых переменных a и b . Кроме того, x – монотонно возрас-

тающая функция b и монотонно убывающая функция a ,			– наоборот,
возрастающая функция a и монотонно убывающая функция b .
Задача 4.5. Найти решение систем уравнений
8 x + 5 y = 2 a + 1	4 x + 9 y = a + b	9x + 4 y

3 x + 2 y = a	3 x + 8 y = 3 a − b	8 x + 3 y

и исследовать зависимость их решения от параметров a и b . Рекомендация . Постройте графики полученных решений x (a , b ) и y (a , b )

как функций переменных параметров a и b . Объясните, почему во всех задачах решения линейно зависят от параметров a и b .

Пример 4.6. Исследовать зависимость решения системы уравнений

		(a + 3) x + 2 ay = 5
от параметров a и b .			x + 5 y = b
от параметров a и b .
В этом примере коэффициенты при неизвестных зависят от параметра
a , а правые части – от параметра b .
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных:
	a + 3 2		5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)
	a + 3 2		5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)

Этот определитель не равен нулю только тогда, когда a ≠ − 5. Поэтому пользоваться формулами Крамера можно только тогда, когда a ≠ − 5. В этом случае:

∆1 =	25 − 2ab , ∆ 2 =	a + 3	Ab + 3b − 5
∆1 =	25 − 2ab , ∆ 2 =	a + 3	Ab + 3b − 5

Рассмотрим отдельно случай a = − 5 . Тогда исходная система есть:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c , y = 2

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax = b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2 . Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

4 x + 5 ay = 2 a	4 x + 5 ay = 2 a	4 x + 5 ay = 2 a

8 x + 10 y	8 x + 10 y	8 x + 10 y = b

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.