Построить сечение тетраэдра через три точки. «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Построить точку пересечения прямой МN и плоскости BDC

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Классная работа. Тема урока: Построение сечений тетраэдра. 29.10.

А В С Д ТЕТРАЭДР - ДАВС Тетраэдр « tetra »- четыре, « hedra »- грань.

Цель урока: Задачи урока: Формирование умения строить сечения тетраэдра с плоскостью, проходящей через три заданные точки. Обучающие: - ввести определение секущей плоскости и сечения тетраэдра плоскостью; - сформулировать алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости; - сформулировать алгоритм построения сечение тетраэдра плоскостью. Развивающие: - продолжить формирование пространственного воображения и математической речи; - развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечение многогранников. Воспитывающие: - вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью; - воспитание культуры общения.

Аксиомы и теоремы стереометрии. 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 5. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. А Б В Г Д

Задание: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью М NK .

2. Задание: Построить прямые, проходящие через точки M , N , K .

Сечение A B C D M N K

А В С D M N K α

A B C D M N K Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. MK – след плоскости MNK на плоскости ABC MN - … NK - …

Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продол- жим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2 . Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . 1 способ 2 способ

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.

Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку.

А В С D N K M X P T Проверь себя Решение 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K - искомое сечение

Точка М является внутренней точкой грани ВС D тетраэдра DABC . Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВ D . С D А В М К L N

Задание Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку R параллельно грани BCD . 2. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку S параллельно грани ABC . 3. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку T параллельно грани ACD . 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВС D .

А D B C  S 2 . А D B C  R 1 . А D B C T  3 . 4.

Домашнее задание Изучить п.14 2. № 73 (стр. 29) 3. Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

Предварительный просмотр:

МБОУ «Кимовская средняя общеобразовательная школа

Спасского муниципального района

Республики Татарстан»

Тема урока :

«Построение сечений тетраэдра»

10 класс

Разработала

Мамонова Евгения Геннадьевна,

Учитель математики первой квалификационной категории

Октябрь, 2013г.

Образовательные задачи:

• обеспечить в ходе урока усвоение алгоритма решения задач на построение сечений тетраэдра.
• обеспечить усвоение понятий тетраэдра, систематизировать знания, связанные с аксиомами стереометрии, определениями, свойствами, понятием взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
• формировать навыки изображения рассматриваемых объектов на плоскости и “чтение” предлагаемых изображений, графической грамотности;
• формировать умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения.

Развивающие задачи:

• развитие умения применять полученные знания по стереометрии на практике,
• формирование умения анализировать и обобщать знания в процессе решения задач на построение сечений тетраэдра.
• уметь выполнять различные вычисления, связанные с определением площади сечения.

Воспитательные задачи:

• воспитание осознанной потребности в знаниях,
• совершенствование учебных умений и навыков,
• воспитывать познавательный интерес к предмету через приобретение пространственного воображения и умения видеть красоту окружающего мира.

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Методы обучения:

Беседа;

Фронтальный опрос;

Иллюстративно-наглядный;

Практический;

Метод сравнения, обобщения.

Учебно-методическое оснащение:

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Материально-техническое оснащение:

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Структура урока :

1. Орг. момент (1 мин).
2. Актуализация ранее приобретенных знаний (3 мин).
3. Подготовка к восприятию нового материала (3 мин).
4. Создание проблемной ситуации (3 мин).
5. Объяснение нового материала (10 мин).
6. Закрепление изученного материала (5 мин).
7. Самостоятельная работа с последующей проверкой (3 мин).
8. Практикум (5 мин).
9. Решение задачи (8 мин)
10. Это интересно (1 мин).
11. Постановка домашнего задания (1 мин).
12. Подведение итогов урока, рефлексия (2 мин).

Ход урока:

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Содержание: 1. Цели и задачи. 2. Введение. 3. Понятие секущей плоскости. 4. Определение сечения. 5. Правила построения сечений. 6. Виды сечений тетраэдра. 7. Виды сечений параллелепипеда. 8. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 9. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 10. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. 11. Второй вариант решения предыдущей задачи. 12. Задача на построение сечения параллелепипеда. 13. Задача на построение сечения параллелепипеда. 14. Пожелание учащимся. Цель работы: Развитие пространственных представлений у учащихся. Задачи: Познакомить с правилами построения сечений. Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники». Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Треугольники Четырехугольники Параллелепипед имеет 6 граней Треугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться: Четырехугольники Шестиугольники Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D M AA 1. Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC). N K BB C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. D F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какойпрямые точкой, лежащей в Какие можно Соедините получившиеся Какие сразу той жеточки граниможно можно продолжить, чтобы получить точки, лежащие в одной соединить? соединить полученную дополнительную точку? грани, назовите сечение. дополнительную точку? D иЕ АС ЕLFK FСЕК иточкой K, и FК F L C M A E K B Правила Второй способ Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О Способ №1. Способ №2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продолжим 4. В1О MN,ВА 5. В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Параллелепипед и тетраэдр, сечения Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I Вариант II 1. Какую поверхность мы называем тетраэдром? параллелепипедом? 2. Что такое грани, ребра, вершины параллелепипеда? тетраэдра? 3. Сформулируйте свойство параллелепипеда о диагоналях. о гранях. Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I 4. Какие ребра тетраэдра называются противоположными? Вариант II 4. Какие грани параллелепипеда называются смежными? 5. Начертите изображение параллелепипеда. тетраэдра. Перечислите все элементы, укажите их количество. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т.к. (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – сечение. Построение сечений тетраэдра Решим задачу D M B A C Решим задачу K M L A N Решим задачу D AC BD B A M C Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C Решим задачу D M B A K N C Решим задачу D M ABC K N ACD B N A M C Решим задачу D M ABC K N ACD N B A M C Домашнее задание повторить п. 1 – 14, подготовиться к зачету № 74, 75(б), 107, 79 Построение сечений параллелепипеда Решим задачу B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Решим задачу С1 B1 A1 D1 B A С D Решим задачу B1 A1 C1 D1 B A C D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 10 10 10 10 ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ И МНОГОЕ УВИДЕЛИ! ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА: ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.