Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X

F(x) = P(X

Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.

Типичный график Функции распределения для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера ):

В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения (Cumulative Distribution Function , CDF ).

Приведем некоторые свойства Функции распределения:

• Функция распределения F(x) изменяется в интервале , т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
• Функция распределения – неубывающая функция;
• Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для с параметром лямбда =5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

  Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения , т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ).

  Примечание : Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения , равна 1.

  Примечание : Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения . Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная ). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная , д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности , то параметр интегральная , д.б. ЛОЖЬ.

  Примечание : Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

  Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

  Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

  Найдем плотность вероятности для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

  Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

  Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

  1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

  НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5.
  Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

  2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

  В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

  3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

  Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье функции распределения найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5.

  В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

  

  Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

  Обратная функция распределения вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения . В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

  

  В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

  Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье .

  Непрерывная случайная величина может быть задана не только с помощью функции распределения. Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины.

  Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал [х , х + Δх ]. Вероятность такого события

  P (х ≤ X ≤ х + Δх ) = F (х + Δх ) – F (х ),

  т.е. равна приращению функции распределения F (х ) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х до х + Δх , равна

  Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х :

  представляющую производную функции распределения F (х ). Напомним, что для непрерывной случайной величины F (х ) – дифференцируемая функция.

  Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения ) f (x ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

  f (x ) = F ′(x ).

  (4.8)

  Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f (x ) на определенном участке оси абсцисс.

  Плотность вероятности f (x ), как и функция распределения F (x ) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

  Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения . График плотности вероятности называется кривой распределения .

  Пример 4.4. По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х .

  Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f (x ) = F "(x ).

  ◄

  Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.

  1. Плотность вероятности – неотрицательная функция , т.е.

  Геометрически вероятность попадания в интервал [α , β ,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α , β ,] (рис.4.4).

  

  Рис. 4.4 Рис. 4.5

  3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле :

  Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

  Пример 4.5. Функция f (x ) задана в виде:

  

  Найти: а) значение А ; б) выражение функции распределения F (х ); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .

  Решение. а) Для того, чтобы f (x ) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х , она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А . С учетом свойства 4 находим:

  , откуда А = .

  б) Функцию распределения находим, используя свойство 3 :

  Если x ≤ 0, то f (x ) = 0 и, следовательно, F (x ) = 0.

  Если 0 < x ≤ 2, то f (x ) = х /2 и, следовательно,

  Если х > 2, то f (x ) = 0 и, следовательно

  в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке находим, используя свойство 2 .

  Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

  Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями, . Тогда ее функция распределения вероятностей

  

  где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при. Поэтому в точке не существует производная функции.

  Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

  

  Тогда формально производная

  

  и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции:

  

  Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, и пусть, . Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

  

  поскольку особая точка - функции, определяемая условием, находится внутри области интегрирования при, а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,

  

  Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

  

  Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе, и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

  Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

  35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плотность распределения вероятностей

  

  где - число, определяемое из условия нормировки:

  

  Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид: .

  

  Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:

  

  На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.

  Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения

  
  

  равномерно распределенной случайной величины.

  35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

  

  где, - числа, называемые параметрами функции. При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины. Кроме этой геометрической интерпретации параметры, имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

  

  Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

  где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись.

  
  

  Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения

  нормальной случайной величины.

  35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

  

  Этой плотности соответствует функция распределения

  35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

  

  Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует. Если, то

  

  35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

  

  Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная

  

  35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения, с вероятностью, которая определяется формулой Бернулли:

  где, - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид

  

  где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:

  

  где - дельта-функция.

  Математическое ожидание

  Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

  Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

  Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

  Задана плотность распределения f(x):

  Задана функция распределения F(x):

  Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
  (закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

  Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
  Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
  P(α < X < β)=F(β) - F(α)
  причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
  P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
  Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
  f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

  Свойства плотности распределения

  1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
  2. Условие нормировки:
  
  Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
  3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
  
  Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
  4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
  
  Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }